1° Forum di Astronomia Amatoriale Italiano

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Autore Messaggio
MessaggioInviato: sabato 9 novembre 2019, 18:10 
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Iscritto il: domenica 8 maggio 2011, 20:54
Messaggi: 9848
Località: Francia Corta (Bs)
Allegato:
10_m_Proposizione XI-Problema VI - testo lat.jpg
10_m_Proposizione XI-Problema VI - testo lat.jpg [ 57.14 KiB | Osservato 175 volte ]

Allegato:
10_m_Proposizione XI-Problema VI - testo.jpg
10_m_Proposizione XI-Problema VI - testo.jpg [ 52.63 KiB | Osservato 175 volte ]

Allegato:
10_m_Proposizione XI-Problema VI -disegno.jpg
10_m_Proposizione XI-Problema VI -disegno.jpg [ 70 KiB | Osservato 175 volte ]

:think:

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Ippo (Costanzo)
"Una cosa ho imparato nella mia lunga vita: che tutta la nostra scienza è primitiva e infantile
eppure è la cosa più preziosa che abbiamo" (A. Einstein).

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Ultima modifica di ippogrifo il sabato 16 novembre 2019, 18:08, modificato 5 volte in totale.

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MessaggioInviato: lunedì 11 novembre 2019, 9:07 
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Iscritto il: domenica 8 maggio 2011, 20:54
Messaggi: 9848
Località: Francia Corta (Bs)
Soluzione (due paginette):
Allegato:
10_a_Proposizione XI-Problema VI.jpg
10_a_Proposizione XI-Problema VI.jpg [ 545.74 KiB | Osservato 135 volte ]

Allegato:
10_aa_Proposizione XI-Problema VI.jpg
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MessaggioInviato: mercoledì 13 novembre 2019, 1:31 
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Iscritto il: domenica 8 maggio 2011, 20:54
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Località: Francia Corta (Bs)
Non lasciamoci ingannare dall'apparente semplicità della soluzione.

Dunque, disegno iniziale.
Newton propone la costruzione di un parallelogramma (QxPR).
Fino qui non ci sono particolari difficoltà.
Allegato:
11_a_Proposizione XI-Problema VI-costruz.jpg
11_a_Proposizione XI-Problema VI-costruz.jpg [ 328.83 KiB | Osservato 116 volte ]

La figura della edizione in latino è più affidabile.
Purtroppo la traduzione in italiano reca una figura ridisegnata con un evidente refuso (corretto nel disegno da me riportato nel post sopra) che è sicuramente una svista, ma che mette qualche dubbio sulla revisione della traduzione e sulla sua comprensione.
Il disegno della edizione latina, originale, senza modifiche, senza errori, è questo:
Allegato:
10_b_Proposizione XI-Problema VI.jpg
10_b_Proposizione XI-Problema VI.jpg [ 113.77 KiB | Osservato 116 volte ]

Ho ricostruito il disegno con autocad per maggiore chiarezza: viene sottinteso che DK e PG sono due diametri coniugati e quindi che la tangente in P (PZ) è parallela a DK. Il punto v (v minuscolo) si trova su PC e Qv è parallelo a DC. Newton dà come scontate queste costruzioni perché ne ha già fatte di simili precedentemente nei Principia.
Allegato:
10_c_Proposizione XI-Problema VI.jpg
10_c_Proposizione XI-Problema VI.jpg [ 104.23 KiB | Osservato 116 volte ]

Segue una prima dimostrazione già analizzata (e verificata): AC = EP
link:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183014
Allegato:
11_b_Proposizione XI-Problema VI-Idim.jpg
11_b_Proposizione XI-Problema VI-Idim.jpg [ 435.84 KiB | Osservato 116 volte ]

Prima di passare oltre notiamo che la pagina della legge del quadrato richiama altre pagine (è una sorta di ipertesto) e non poteva essere diversamente; ci sono quattro riferimenti esterni che qui vengono sottolineati in rosso:
Allegato:
11_c_Proposizione XI-Problema VI-link.jpg
11_c_Proposizione XI-Problema VI-link.jpg [ 352.91 KiB | Osservato 116 volte ]

(…)

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MessaggioInviato: giovedì 14 novembre 2019, 21:47 
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Iscritto il: domenica 8 maggio 2011, 20:54
Messaggi: 9848
Località: Francia Corta (Bs)
Proseguiamo.
Costruzione geometrica (no problem):
Allegato:
11_d_Proposizione XI-Problema VI-costr.jpg
11_d_Proposizione XI-Problema VI-costr.jpg [ 348.04 KiB | Osservato 86 volte ]

Segue qualcosa che abbiamo già visto,
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183207
il parametro principale L dell'ellisse ci è noto, ed è nota anche l'uguaglianza che Newton ci propone:
Allegato:
11_e_Proposizione XI-Problema VI-param L.jpg
11_e_Proposizione XI-Problema VI-param L.jpg [ 462.79 KiB | Osservato 86 volte ]

Ora ci sono dei passaggi matematici:
Allegato:
11_f_Proposizione XI-Problema VI-passaggi.jpg
11_f_Proposizione XI-Problema VI-passaggi.jpg [ 328.42 KiB | Osservato 86 volte ]

Li ripeto in forma più moderna con l'equation editor di Word:
Allegato:
11_g_Proposizione XI-Problema VI-passaggi.jpg
11_g_Proposizione XI-Problema VI-passaggi.jpg [ 307.53 KiB | Osservato 86 volte ]

Ricordo, peraltro, la proprietà dell'ellisse già vista:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183342
Allegato:
11_i_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVIIa.jpg
11_i_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVIIa.jpg [ 79.51 KiB | Osservato 86 volte ]


Ora Newton richiama un altro punto:
Allegato:
11_h_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVII.jpg
11_h_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVII.jpg [ 207.91 KiB | Osservato 86 volte ]

Ma anche questo è già stato discusso:
http://forum.astrofili.org/viewtopic.php?f=4&t=104953&p=1184145&hilit=disinvoltura#p1183364

In pratica, questo ultimo richiamo al Lemma VII serve a Newton per affermare che se il punto Q tende a P (ragionamento moderno "al limite", vedere il solito disegno sopra) il segmento Qx tende al segmento Qv e cioè Qv e Qx tendono ad essere uguali. Non è una questione banale, perché nel frattempo Qx e Qv tendono a zero, come la loro differenza. Viene considerato, quindi, che la differenza Qv-Qx sia un infinitesimo di ordine superiore, come si direbbe al giorno d'oggi. E' argomento delicato … perché gli infinitesimi di ordine superiore potrebbero essere un tallone di Achille nel calcolo differenziale, ma ora limitiamoci ad accettare …

( … )

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MessaggioInviato: sabato 16 novembre 2019, 11:52 
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Iscritto il: domenica 8 maggio 2011, 20:54
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Località: Francia Corta (Bs)
(…)
Ultimo sforzo nella seconda paginetta.

Newton richiama il Lemma XII, eccolo qua:
Allegato:
10_e_Proposizione XI-Problema VI - Lemma XII con nota.jpg
10_e_Proposizione XI-Problema VI - Lemma XII con nota.jpg [ 116.83 KiB | Osservato 35 volte ]

Non è difficile verificare che probabilmente questa era una proprietà molto popolare ai tempi di Newton (un po' caduta nell'oblio ai giorni nostri).
Sta di fatto che, con riferimento alla solita figura, concordiamo così:
Allegato:
11_i_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVIIa b .jpg
11_i_Proposizione XI-Problema VI-cor2-lmVIIa b .jpg [ 306.53 KiB | Osservato 35 volte ]

(C'è ancora da segnalare una facile similitudine dei triangoli QTx e PEF)
Ci sono ora solo passaggi algebrici verificabili senza troppe difficoltà.
Infatti, dopo avere scritto tutte quelle equazioni, proporzioni, eguaglianze, Newton le combina insieme per arrivare ad un risultato finale sintetico e significativo.
Allegato:
11_l_Proposizione XI-Problema VI-pass matem.jpg
11_l_Proposizione XI-Problema VI-pass matem.jpg [ 327.61 KiB | Osservato 35 volte ]

Mi risulta piuttosto tedioso usare immagini jpg per allegare i passaggi algebrici, descritti a parole da Newton, tradotti in chiave moderna, quindi allego un pdf, più versatile da trattare.
Allegato:
Newton legge del quadrato___.pdf [1.04 MiB]
Scaricato 6 volte

Newton adotta un metodo di calcolo che si basa su una scarica di moltiplicazioni, metodo che, francamente, non mi è molto familiare. Ho preferito combinare le equazioni a modo mio: se la matematica non è un'opinione, il risultato deve essere il medesimo.
Non so quanti lettori abbiano verificato davvero i calcoli, da allora. Senz'altro alcuni l'avranno fatto, ma dubito che il traduttore, ineccepibile per molti versi, sia tra di loro, mi spiace dirlo. E' bello notare che anche qui Newton non fallisce neppure di una virgola (ci mancherebbe che fosse scivolato su una improbabile buccia di banana ...).
Le conclusioni di Newton sono queste, coincidenti con i miei risultati:
Allegato:
11_m_Proposizione XI-Problema VI-risultati.jpg
11_m_Proposizione XI-Problema VI-risultati.jpg [ 277.13 KiB | Osservato 35 volte ]

E qui finisce la parte geometrica della dimostrazione.

Abbiamo toccato con mano una geometria sapiente e raffinata, una conoscenza profonda e vasta che confluisce in una procedura mirata e complessa. Scoprire che c'è ancora la possibilità di interpretare, capire, verificare direttamente uno scritto storico di tale portata non è cosa da poco.

Ma ... accidenti! ... presi da tutte queste elucubrazioni geometriche, non abbiamo ancora parlato di meccanica!
Dov'è la dinamica, dov'è la cinematica?
Ecco spuntare, proprio in coda, il richiamo necessario a completare la dimostrazione.
Allegato:
11_n_Proposizione XI-Problema VI-mecc.jpg
11_n_Proposizione XI-Problema VI-mecc.jpg [ 92.04 KiB | Osservato 35 volte ]

Si tratta dell'aggancio ai corollari 1 e 5 della proposizione VI.
E che cosa mai ci diranno quei corollari? Come potranno chiudere la questione? :wtf: :think:
(…)

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